Funciones

FUNCIONES

En Matemáticas, una función o aplicación del conjunto A en el conjunto B asocia a cada uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de B.

Definición:

Matemática de una función:

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota:

$f \colon A \to B \,$

http://mariscal.blogdiario.com/img/ESTRELLA.GIF

y satisface:

$\forall a \in A \quad \rm {\exists b} \in B\mid (a,b) \in f$
Si $(a,b_1) \in f \and (a,b_2) \in f \Rightarrow b_1 = b_2$

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota $f(a)=b \,$ en vez de $(a,b)\in f$ .

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen:

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.

$D_f = \left\{x \in A \mid \exists y \in B \mid (x,y) \in f\right\}$

Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si $f \colon A \to B \,$ es una función, entonces $D f = A$ .

El codominio de una función $f \colon A \to B \,$ es el conjunto $B \,$ .

Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún $y \in B$ tal que $\forall x \in A \;\, (x,y)\notin f$

El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

$Im_f = \left\{y \in B \mid \exists x \in A \mid (x,y) \in f\right\}$

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

Cantidad de variables:

El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función:

$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función escalar
$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es un campo escalar
$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ es una función vectorial
$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es un campo vectorial

Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una Relación matemática. Dado un $(a, b)$ puede ocurrir que $a = b$ , pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es $(a, b)$ , no $a$ o $b$ en forma individual.

Conceptos para funciones de valor real:

Para funciones $A\to\mathbb{R}$ tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

$C_0 = \left\{x \in D_f\mid f(x) = 0\right\}$

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

$C^- = \left\{x \in D_f\mid f(x) < 0\right\}$

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

$C^+ = \left\{x \in D_f\mid f(x) > 0\right\}$

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

Función inyectiva:

Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. $f: A \rightarrow B\,$ es inyectiva $\harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y$ ; o lo que es lo mismo: $\harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)$

Función sobreyectiva:

$f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva $\harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y$

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. $f: A \rightarrow B\,$ es inyectiva $\harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y$ ; o lo que es lo mismo: $\harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)$
Función sobreyectiva: $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva $\harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y$

Función biyectiva:

No se pudo entender (error desconocido): f: A \rightarrow B\ es biyectiva si <math>f \, es inyectiva y sobreyectiva.

Sobreyectiva, no inyectiva	Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva	No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones:

Composición de funciones:

Dadas dos funciones $f \colon A \to B \,\;$ y $g \colon B \to C \,\;$ tales que la imagen de $f \,$ está contenida en el dominio de $g\,$ , se define la función composición $\;\;g\circ f \colon A \to C \,$ como el conjunto de pares $(\,x, g(f(x)\,)$ , para todos los elementos $x \,$ de $A \,$ .

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

Dado $x\,$ conocemos $(\, x, f(x) \,)$ , puesto que conocemos la función $f\,$ , y dado cualquier elemento $y \,$ de $B \,$ conocemos también $(\,y, g(y)\, )$ , puesto que conocemos la función $g \,$ . Por tanto, $(\, x, g(f(x)) \,)$ está definido para todo x. Luego $\;\;g\circ f \;$ cumple la condición de existencia que se exige a las funciones.

También cumple la condición de unicidad, dado que para cada $x \,$ el valor de $f(x) \,$ es único, y para cada $f(x) \,$ también lo es el de $g(f(x)) \,$ , por ser $f \;$ y $g \;$ funciones.

La composición de funciones es asociativa:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas $f \colon A \to B \,$ y $g \colon B \to C \,$ , $f\circ g\,$ puede no tener ni siquiera sentido, porque $g \,$ “devuelve” elementos de $C \,$ , en tanto que $f \,$ está definida en el dominio $A \,$ .

bond.gif (9664 bytes)

Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas $f(x)=x+1 \,\;$ y $\,g(x)=x^2 \,\;$ , $\,f(g(x))=x^2+1 \,\;$ , en tanto que $\;g(f(x))=(x+1)^2 \,$

Función identidad:

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x \,$ de $A \,$ el mismo $x \,$ de $A \,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}$

Dada cualquier función $g \colon A \to B \,$ , es claro que $e_B\circ f \colon A \to B \,$ es igual a $f\,$ y que $f\circ e_A \colon A \to B \,$ es también igual a $f\,$ , puesto que para todo $x \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

Función inversa:

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se denomina función inversa o función recíproca de $f \;$ , $f^{-1} \colon B \to A \,$ a la función que cumple la siguiente condición:

$\; f \circ f^{-1} = e_B \;$

$\; f^{-1} \circ f = e_A \;$

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación $f^{-1} \;$ , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de $f^{-1} \;$ es que $f \;$ sea inyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de $f \;$ y
$f \;$ es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

xfbi.gif (9375 bytes)

El grupo de las funciones biyectivas:

Considerando todas las funciones biyectivas $f \colon \, A \to A$ , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa: $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
$\exists e_A \colon \, A \to A \,$ tal que $\forall f\colon A \to A$ tenemos $f\circ e_A = e_A \circ f = f$
$\forall f \colon \, A \to A \, \exists f^{-1} \colon \, A \to A$ tal que $f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = e_A$

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .

Funciones reales de variable real:

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o entre conjuntos de números ( $\mathbb{N,Z,Q,R,C}$ ).

Funciones reales y funciones discretas:

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas:

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo,
f(x)=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente. $\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Funciones pares e impares:

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = -f(-x))$

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y)

Funciones monótonas:

La función f es estrictamente creciente en :

$[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$

f es estrictamente decreciente en :

$[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en : $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en : $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Función lineal:

Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.

En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor.

En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.

Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo

y = mx +b

Obviamente dados tres elementos cualesquiera de esta ecuación se puede hallar el faltante. Determine cómo.

En las siguientes gráficas, , se muestran todas las combinaciones posibles de m y b con valores -1,0 y 1, la segunda por ejemplo, muestra y= -1x +0 es decir y = -x.

Saque conclusiones sobre :

a- el crecimiento de la función a partir del signo de m.

b- el signo de la raíz a partir de la combinación de valores entre "m" y "n"

Funciones periódicas:

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el periodo.

Funciones cóncavas y convexas:

Función convexa:

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima de la función.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Función cuadratica:

Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x² tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f₍_x)= x² tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ¥), vértice (0, 0).

Si sumamos a la ecuación cuadrática (x²) una unidad, o sea, "x² + 1", la imagen se desplaza "uno" hacia arriba, de manera que el intervalo queda definido desde [1, + ¥). Si restamos a la ecuación cuadrática (x²) una unidad, o sea, "x² - 1" la imagen se desplaza "uno" hacia abajo, de manera que el intervalo queda definido desde [-1, + ¥).

f_(x)= x² + v_y, la parábola de desplaza sobre el eje y hacia abajo (- v_y) o hacia arriba (+ v_y)

Podemos preguntarnos ahora ¿qué sucedería si eleváramos un binomio (dos términos con letras y números) al cuadrado?. Por ejemplo (x + 1)². Como no sumamos "ningún número al cuadrado" la función no se desplaza en el eje de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la primer coordenada, para x² era "0", ese valor lo obtendremos si x = -1, de esa manera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda.

Pogamos otro ejemplo, (x - 1)². Por la misma justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha.

f₍_x)= (x + v_x)² la parábola de desplaza sobre el eje x hacia la derecha (- v_x) o hacia la izquierda (+ v_x)

Si aplicamos ambas al mismo tiempo tendremos una expresión (llamada canónica) f_(x)= a (x + v_x)² + v_y donde el vértice será (- v_x, v_y). [a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función (mínimo), si es negativa la concavidad se invierte y el vértice es el mayor valor (máximo)].

Para una parábola de vértice (2, 1) la ecuación deberá escribirse f₍_x)= (x - 2)²+ 1. (ver la figura de color violeta)

Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica f_(x)= ax² + bx + c

Pasar de Polinómica a Canónica: (obtención de la ecuación cuadrática)

f_(x=a (x - y) + v_y

Factoriamos a para que la x² quede sola.

Mientras mantengamos la igualdad podemos hacer lo que se quiera. En la suma el cero es neutro, por lo tanto, si sumamos y restamos "lo mismo" mantenemos la igualdad. Como queremos obtener un binomio al cuadrado, completamos cuadrados.

Trinomio cuadrado perfecto: (x + y)² = x² + 2 x y + y².

Ecuación canónica

Función raiz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$
$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
La función raíz cuadrada principal $f(x) = \sqrt{x}$ es una función definida del conjunto de los reales no negativos $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ hacia sí mismo. La función raíz cuadrada principal $f(x) = \sqrt{x}$ siempre regresa un valor que es único.

Para obtener las dos raíces de un número positivo, tome el valor dado por la función raíz cuadrada principal como la primera raíz ( $r 1$ ) y obtenga la segunda raíz ( $r 2$ ) substrayendo la primera raíz de cero ( $r 2 = 0 - r 1$ ).
Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).

Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x 2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la función raíz cuadrada principal de $x 2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .

potc_002.gif (261297 bytes)

En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil:

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}$

y es válida para todos los números no negativos

x

y

que no sean ambos cero.

060225132221_55.gif (33841 bytes)

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x = 0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x = 0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$
para $\left\| x \right\| < 1$

Función valor absoluto:

La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:

Graficamente la función es

Si x es positivo no afecta la función en el número

Si x es negativo la función "lleva al numero" a su inverso aditivo

El valor absoluto de un número real nunca es negativo.

Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo.

Antes de resolver algunos ejercicios veamos algunas propiedades básicas del valor absoluto. Es claro que la definición de valor absoluto que :

Función maximo entero:

Es aquella función que se define como f(x)=x, cuyo dominio es todo numero real y cuyo rango son nuemeros enteros.

Como la siguiente grafica:

Función constante:

es aquella donde cada valor del codominio, no importa el valor de x, siempre será el mismo (único valor) ya

que a = 0.

Como todo número elevado a cero da uno, en este caso, la función exponencial

f_(x) = m . x⁰ queda f_(x) = m .

1 Þ f_(x) = m,

donde m es un número cualquiera, por ejemplo 3.

f_(x) = 3

¿ Cuál es el dominio ? Todos los reales.

¿ y la imagen ? Solamente un valor, 3.

ALUMNO:

Juan Carlos Orué Rojas.

Profesor:Edilberto Atencio Grijalva.

Colegio:

Libertador Mariscal Castilla.

Grado: Sección:

4to "C"

Escrito por lmc2007 el 21/04/2007 03:32 | Comentarios (3)

Comentarios

mui bueno el resumen
pero porque aparecen tantos gifs?
saludos

Escrito por G; 03/05/2010 02:19

Que buena información es muy importante la parte teórica para la materia de calculo con esta información del blog mejoramos los conocimientos y nos podemos defender muchísimo mejor

Escrito por David Fernando Niño Aparicio 19/08/2010 02:34

a ésta página le falta formalidad, se nota que la hizo alguien de primaria o puede ser que de secundaria.

Escrito por juan 26/09/2010 18:38

Funciones

Funciones

Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen:

Cantidad de variables:

Conceptos para funciones de valor real:

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

Álgebra de las funciones:

Composición de funciones:

Función identidad:

Función inversa:

Funciones acotadas:

Funciones pares e impares:

Funciones monótonas:

Comentarios

Añadir un Comentario:

Acerca de lmc2007

Archivo

Categorías

Suscríbete

Contacto